小学生のころ、地図について習ったとき、様々な図法（メルカトル図法、正距方位図法など）を習ったと思います。
それらの相互変換を自分で行うには面倒な計算が必要ですが、QGISであればクリック一つで地図の形を変えてくれます。
様々な図法があるのは、地球が球体（回転楕円体）であるため、平面上に表現するとき、面積・角度・距離のいずれかにゆがみが生じてしまうためです。
難しいことはさておき、QGISで様々な図法で表現する方法を説明します。
見え方の違いについては世界地図で作業したほうがわかりやすいので、Natural Earthからデータをダウンロードします。
トップページから「Get the Data」でダウンロードページへ行き、縮尺を選んで「Cultural」を選択。一番上にある「Admin 0 – Countries」の「Download countries」をクリックすればダウンロードが始まります。下記の例では、「Medium scale data」を選択しています。
Natural Earth（Terms of Use）によると、データはすべてパブリックドメインとされているので、ありがたく使わせてもらいましょう。
早速データを読み込み、「name」で色分けすると以下のような見慣れた世界地図が表示されます。
投影法を変えるには、右下の「EPSG:xxxx」と表示されている部分をクリックしてプロジェクトのプロパティを表示させ、CRSタブで「'オンザフライ'CRS変換を有効にする」にチェックを入れます。
すると「フィルター」の欄に文字入力ができるようになるので、ここに変更したい投影方法を入力して検索していきます。
まずは有名なメルカトル図法で表示させます。フィルター欄に「mercator」と入力すると多くの候補が現れます。一番上の「Popular Visualisation CRS / Mercator」を選択すると以下のような表示になります。
続いて、モルワイデ図法を表示します。メルカトル図法と同様に「moll」と入力すると、すぐに候補が２つに絞られるので「World_Mollweide」を選びます。
縮尺を大きくしていくとバグったような表示になることがありますが、拡大（縮尺を小さく）したり地図を動かしたりすると表示がもとに戻ることが多いです。
サンソン図法は「sinusoidal」で検索して「World_Sinusoidal」を選択。
正距方位図法は「azimuthal」で検索して「North_Pole_Azimuthal_Equidistant」や「South_Pole_Azimuthal_Equidistant」を選ぶと、それぞれ北極と南極を中心とした地図が表示されます。
このように様々な図法で表示が可能ですが、どのやり方も中心点が決まっていて変更できません。これを変更するにはカスタムCRSというものを定義します。
詳しくは、カスタムCRSで東京中心の正距方位図法を作るをご覧ください。